Halaman
Barisan dan DeretStandar KompetensiMemahami sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar serta penggunaannya dalam memecahkan masalah sederhanaKompetensi Dasar6.1 Menentukan pola barisan bilangan sederhana6.2 Menentukan suku ke-n barisan aritmatika dan barisan geometri6.3 Menentukan jumlah n suku pertama deret aritmatika dan deret geometri6.4 Memecahkan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deretBab 6
BAB 6 Barisan dan Deret154Pola Bilangan Genap dan Bilangan GanjilApa yang akan kamu pelajari? Pola bilangan ganjil dan genap. Pola bilangan persegi, segitiga dan persegipan-jang. Pola bilangan pada Segi-tiga Pascal. Kata Kunci: Pola Pola Bilangan Ganjil. Pola Bilangan Genap. Pola Bilangan Persegi. Pola Bilangan Segitiga. Pola Bilangan Persegipan-jang. Pola Bilangan Segitiga Pascal.Sebelum kita belajar lebih jauh, untuk mendalami pola bilangan lakukan kegiatan berikut ini. Bahan : Satu lembar kertas. 1. Lipatlah satu lembar kertas (berbentuk persegipanjang) sehingga menjadi 2 bagian yang sama. Guntinglah menurut lipatan tersebut. Ada berapa banyak potongan kertas? 2. Susunlah semua potongan kertas tersebut sehingga saling menutup. Lipatlah susunan kertas tersebut menjadi 2 bagian yang sama, kemudian guntinglah menurut lipatan tersebut. Ada berapa banyak potongan kertas sekarang? Catatlahlah banyaknya potongan kertas yang terjadi pada tabel di bawah. 3. Lakukan kegiatan tersebut sampai 6 kali.6.1Pola Bilangan A
Matematika SMP Kelas IX155Diskusikan dengan temanmu untuk menjawab pertanyaan berikut ini.a. Apakah banyaknya lembaran kertas yang terjadi mempunyai keteraturan? Jika ya, jelaskan keteraturannya!b. Apakah dapat ditentukan banyaknya lembaran kertas yang terjadi, jika dilipat sebanyak 8 kali seperti cara di atas? Berapakah banyaknya lembar kertas itu?Banyaknya lembaran kertas yang terjadi, jika dilipat dengan cara di atas membentuk pola. 2, 4, 8, ... merupakan salah satu contoh pola bilangan. Isilah tiga bilangan berikutnya dan tanda titik tiga 1. Perhatikan tiga rangkaian pola berikut.a. Gambarlah rangkaian keempat dan kelima.b. Berapakah banyaknya persegi yang diarsir pada rangkaian keempat dan kelima?c. Bayangkan rangkaian keenam. Jelaskan rancangan itu menurut kalimatmu.Kamu dapat membentuk pola bilangan dari gambar di atas, yaitu 1, 5, 9, . . .1 merupakan suku pertama,5 merupakan suku kedua, 9merupakan suku ketiga, dan seterusnya. Uuntuk menentukan bilangan pada suku tertentu harus diketahui dahulu aturan yang digunakan untuk mendapatkan bilangan pada suku berikutnya.2. Perhatikan pola bilangan 2, 4, 6, 8, . . . Tentukan bilangan-bilangan pada ketiga suku berikutnya! Bagaimana aturan untuk mendapatkan suku berikutnya?Diskusi 1Diskusi 2
BAB 6 Barisan dan Deret1563. Untuk mencari ketiga suku berikutnya pada soal berikut dicari dengan cara berikut. Jadi tiga suku berikutnya adalah 10, 12, dan 14.Aturannya adalah dimulai dengan bilangan 2 dan suku-suku berikutnya didapat dengan menjumlahkan suku sebelumnya dengan 2.Coba kamu menemukan cara lain (caramu sendiri) selain dengan cara di atas. Tuliskan aturanmu itu! 4. Perhatikan pola bilangan 1, 3, 9, 27, . . . Berapakah bilangan pada ketiga suku berikutnya? Tulislah aturan untuk Pola Bilangan Ganjil1. Perhatikan gambar noktah-noktah berikut.a. Apakah gambar di atas membentuk suatu pola?Jelaskan! b. Hubungkan masing-masing pola di atas dengan suatu bilangan yang ditunjukkan dengan banyaknya noktah dalam pola itu. Pola bilangan apakah yang kalian dapat? Jelaskan!2. Perhatikan gambar persegi di samping. Apakah antara persegi yang berwarna merah (berwarna gelap) dengan yang berwarna hijau(berwarna terang) membentuk pola bilangan yang sama dengan pola pada Masalah 1? Jelaskan! Diskusi 3
Matematika SMP Kelas IX1573. Selanjutnya, kita bandingkan jumlah bilangan-bilangan ganjil terhadap luas persegi berikut ini.Dari pola-pola di atas dapat kita buat tabel berikut ini.Bagaimanakah hubungan antara hasil penjumlahan bilangan-bilangan yang pertama dan terurut ganjil dengan luas persegi? Dengan demikian, bagaimanakah rumus jumlah dari n bilangan ganjil yang pertama? Pola Bilangan GenapPerhatikan gambar berikut.Diskusi 2
BAB 6 Barisan dan Deret158a. Hubungkan masing-masing pola di atas dengan suatu bilangan yang ditunjukkan dengan banyaknya noktah. Pola bilangan apakah yang kamu dapat? Jelaskan. b. Apakah gambar di samping menunjukkan pola bilangan genap?Jelaskan!c. Buatlah tabel yang menyatakan hubungan antara hasil penjumlahan bilangan genap dengan luas persegi-panjang, seperti penjelasan pada pola bilangan ganjil.d. Bagaimanakah hubungan antara hasil penjumlahan bilangan genap dengan luas persegipanjang? Pola Bilangan SegitigaPernahkah kamu menjumpai “pemandu sorak (cheerleader)” melakukan atraksinya dalam suatu pertandingan olahraga (misalnya basket)? Seringkali dalam atraksinya mereka membentuk piramida manusia, yaitu saling berdiri di antara pemain-pemainnya, sehingga pada puncaknya hanya berdiri seorang saja. Pada gambar di samping bawah ini dianggap bahwa piramida manusia tersebut belum mencapai puncak. Piramida manusia tertinggi pernah dibuat pada tahun 1981 di Spanyol. Tingginya adalah 9 tingkat. Bagaimana cara mereka membuat piramida itu? Lakukan kegiatan berikut.1. Apakah piramida manusia itu berbentuk limas? Sebutkan bentuk yang tepat untuk menjelaskannya!2. Berapa banyak orang bila tingginya 2 tingkat, dan 3 tingkat?3. Misalkan satu orang dalam piramida tersebut digambarkan dengan tanda “ “pada suatu piramida. Gambarlah pola banyaknya orang dalam piramida manusia itu. BDiskusi 3Sumber: google.com
Matematika SMP Kelas IX159Banyaknya tanda “ “ pada suatu piramida menunjuk pada bilangan 1, 3, 6, ... . Karena bentuknya seperti segitiga, maka pola bilangan itu dinamakan Pola bilangan segitiga.4. Buatlah tabel untuk menunjukkan banyaknya tingkat dan banyaknya orang dalam piramida itu. (Selesaikan tabel ini dengan mengisi bagian ...)5. Perhatikan polanya. Bagaimanakah hubungan banyaknya orang dalam piramida manusia itu dengan banyaknya tingkat?6. Lanjutkan tabel di atas. Berapa banyaknya orang bila tingkatnya 9?7. Berpikir Kritis. Coba kalian tentukan banyaknya orang pada tingkat tertentu, tanpa harus mengetahui banyak orang pada tingkat sebelumnya? Jelaskan jawabanmu itu!Setiap tahun suatu perusahan penerbangan mengadakan pertunjukan dirgantara.Secara bergantian pesawat-pesawat terbang tinggal landas dan membentuk formasi-formasi tertentu. Pada grup pertama, sebuah pesawat tinggal landas, kemudian grup kedua dengan tiga pesawat yang tinggal landas. Berikutnya grup ketiga dengan lima pesawat yang tinggal landas, kemudian grup keempat dengan tujuh pesawat.Pola Bilangan Persegi Sumber:Dit. PSMP, 2006C
BAB 6 Barisan dan Deret160Berapakah jumlah pesawat yang berada di angkasa, setelah penerbangan grup keempat, bila pesawat-pesawat pada grup-grup sebelumnya belum mendarat?Untuk menjawabnya lakukan kegiatan berikut.1. Perhatikan tabel berikut. Berapakah jumlah pesawat yang berada di angkasa, setelah penerbangan grup ketiga, kemudian sesudah penerbangan keempat, bila pesawat-pesawat pada grup-grup sebelumnya belum 2. Jika pola penerbangan di atas dilanjutkan, berapa banyak pesawat yang diterbangkan pada penerbangan grup ke-5 dan ke-6?3. Berapakah jumlah pesawat yang ada di angkasa setelah penerbangan grup ke-5 dan ke-6, bila pesawat-pesawat pada grup-grup sebelumnya belum mendarat?4. Jelaskan dan diskusikan hubungan antara grup pesawat dan jumlah pesawat yang ada di angkasa5. Bilangan-bilangan pada kolom ke-3 pada tabel di atas merupakan bilangan kuadrat.6. Perhatikan model dari bilangan kuadrat berikut. Apakah membentuk pola bilangan kuadrat?Diskusi 6
Matematika SMP Kelas IX161Karena bilangan-bilangan 1, 4, 9 dan 16 berhubungan dengan bentuk persegi, maka pola bilangan itu dinamakan juga pola bilangan persegi.Pola Bilangan Persegi PanjangDi kota-kota besar, lahan untuk berkebun sudah makin berkurang atau bahkan tidak ada lagi. Sehingga untuk berkebun atau menanam tanaman digunakan pot-pot yang berbentuk persegi satuan dari kayu-kayu yang diisi dengan tanah. Berikut rangkaian pot-pot tersebut.Apakah suku kelima sama dengan 30?3. Dari soal nomor 1, Berapa banyak pot yang ada pada suku ke-n (rangkaian ke-n)?1. Apakah banyaknya pot-pot tersebut membentuk suatu pola? Tuliskan pola itu.Karena bilangan 2, 6, 12 dan 20 berhubungan dengan bentuk persegipanjang, maka pola bilangan ini dinamakan pola bilangan persegipanjang.2. Dapatkah kamu menunjukkan bilangan pada suku kelima?Dari pola-pola di atas dapat dibuat tabel berikut.DDiskusi 7
BAB 6 Barisan dan Deret162Pola Bilangan Pada Segitiga PascalSusunan bilangan berikut telah dikenal di Cina kira-kira tahun 1300. Susunan bilangan itu dinamakan Segitiga Pascal, setelah matematikawan Perancis, Blaise Pascal mempublikasikan pola ini pada tahun 1653.Pola berikut ini merupakan pola bilangan segitiga Pascal itu. 1. Perhatikan pola bilangan Segitiga Pascal di atas. Isilah titik-titik pada susunan bilangan itu.2. Bagaimanakah aturan untuk mengisi titik-titik itu?3. Jika susunan bilangan 1 merupakan baris ke-1, susunan bilangan-bilangan 1 1 merupakan baris ke-2, susunan bilangan-bilangan 1 2 1 merupakan baris ke-3, bilangan berapa saja pada baris ke-6?4. Berapakah jumlah bilangan pada baris ke-6?5. Buatlah tabel yang menyatakan hasil penjumlahan bilangan pada tiap baris segitiga Pascal.EDiskusi 8
Matematika SMP Kelas IX1636. Perhatikan dan amatilah suatu Segitiga Pascal. Jumlah bilangan-bilangan pada baris ke-1 adalah 1.Jumlah bilangan pada baris ke-2 adalah 2.Jumlah bilangan pada baris ke-3 adalah 4.Jumlah bilangan pada baris ke-4 adalah 8.Berapa jumlah barisan ke-n dari pola bilangan segitiga Pascal itu? 7. Tahukah Kamu? Salah satu kegunaan dari barisan bilangan Segitiga Pascal adalah untuk menentukan koefisien-koefisien suku-suku hasil perpangkatan (a+b).Perhatikan (a+b)3 di atas.Koefisien dari a3 adalah 1, koefisien dari a2b adalah 3, koefisien dari ab2 adalah 3 dan koefisien dari b3 adalah 1. Sekarang perhatikan (a+b)5, kemudian carilah koefisien dari a5, koefisien dari a4b , koefisien dari a3 b2, dan koefisien dari a2 b3?
BAB 6 Barisan dan Deret164Apa yang akan kamu pelajari? Pengertian barisan bilan-gan, suku, dan suku ke-n. Menentukan suku berikut-nya dari suatu barisan. Menentukan suku ke-n dari suatu barisan.Kata Kunci: Barisan. Suku ke-n. Beda RasioPengertian BarisanPada setiap hari Senin pagi, sekolah-sekolah tingkat SD, SMP maupun SMA selalu mengadakan upacara bendera. Siswa-siswa kelas VII, VIII, dan IX secara teratur membentuk barisan tersendiri.Pernahkah kalian mengatur barisan saat upacara bendera?Carilah lima temanmu yang mempunyai tinggi badan berbeda-beda.Bagaimana kamu mengatur kelima temanmu itu dalam satu barisan?1. Siapakah yang terletak pada urutan pertama, kedua, ketiga, keempat dan kelima?2. Mengapa urutannya kamu buat demikian?3. Apakah aturan pengurutan tersebut?4. Bila bilangan-bilangan yang menunjukkan tinggi dari kelima temanmu kamu urutkan maka akan membentuk barisan bilangan. Bilangan-bilangan itu berkorespodensi satu-satu dengan kelima temanmu yang kamu susun menjadi satu barisan.6.2Barisan Bilangan ABarisan bilangan sembarang
Matematika SMP Kelas IX165Tulislah urutan tinggi temanmu.Tinggi : ........... , ........... , ............, .............., .............Nama : ..........., ............., ............, ............., ..............1. Apakah urutan bilangan-bilangan di atas membentuk pola? Bila ya, apakah aturannya? Ingatkah kamu bahwa bilangan-bilangan yang diurutkan dengan pola (aturan) tertentu membentuk suatu barisan bilangan. Contohnya adalah barisan bilangan ganjil dan barisan bilangan genap.2. Bila kamu menjumpai lima temanmu (misalkan namanya diwakili oleh huruf-huruf A, B, C, D, dan E) yang tingginya masing-masing 125 cm, 130 cm, 140 cm, 100 cm dan 170 cm. Apakah bilangan-bilangan yang menunjukkan tinggi kelima temanmu tadi membentuk suatu barisan bilangan? Jelaskan.Tinggi : 125, 130, 140 , 100, 170Nama : ...A....., ...B...., .....C...., .....D...., ....E.......Apakah tingginya membentuk pola?Dalam pelajaran ini kita hanya akan mempelajari barisan-bari-san yang mempunyai pola (aturan) tertentu, sedangkan untuk barisan bilangan sebarang tidak dipelajari.Masih ingatkah pola bilangan genap yang dimulai dari 2?Pola bilangan genap : 2, 4, 6, 8, . . .Barisan bilangan 2, 4, 6, 8, . . . dinamakan barisan bilangan genap.Barisan aritmatikaBarisan bilangan yang dibentuk dari bilangan-bilangan yang tidak diurutkan dengan pola (aturan) tertentu disebut barisan bilangan sembarang.
BAB 6 Barisan dan Deret166Suku ke-1 dari barisan bilangan genap itu adalah 2. Biasanya ditulis dengan lambang U1 = 2.Suku ke-2 dari barisan bilangan genap itu adalah 4. Biasanya ditulis dengan lambang U2 = 4.Suku ke-3 dari barisan bilangan genap itu adalah 6. Biasanya ditulis dengan lambang U3 = 6, dan seterusnya.Berapakah suku ke-5?Untuk menemukan suku ke-5 dari barisan itu harus diketahui aturan urutan suku-suku pada barisan itu. Aturan pada barisan bilangan genap itu adalah dimulai dengan 2 dan suku berikutnya diperoleh dengan menambahkan 2 pada suku sebelumnya.Dengan demikian suku kelima adalah 10 atau U5 = 10. Perhatikan barisan 2, 5, 8, 11, . . . , tentukan tiga suku berikutnya dari barisan tersebut.JawabPerhatikan bahwa setiap suku dalam barisan tersebut memiliki beda 2, tanpa menggunakan aturan tiga suku berikutnya adalah 13, 15, 17.1. Perhatikan barisan 35, 29, 23, 17, . . . Untuk menentukan bilangan pada suku berikutnya, bilangan berapakah yang harus ditambahkan? Tulislah tiga suku berikutnya. Apakah barisan itu barisan aritmatika?2. Dapatkah kamu mencari barisan aritmatika yang lain? Berapa bedanya?Barisan bilangan yang suku berikutnya didapat dari penambahan suku sebelumnya dengan bilangan yang tetap (tertentu) dinamakan barisanaritmetika. Bilangan yang tetap itu dinamakan beda.Contoh 1Giliranmu 2 4 6 8 10
Matematika SMP Kelas IX167Barisan bilangan yang suku-suku berikutnya diperoleh dari hasil kali suku sebelumnya dengan bilangan tetap yang tidak sama dengan nol dinamakan barisan geometri. Bilangan tetap tersebut dinamakan pembanding (rasio).ContohTentukan rasio dari barisan berikut 1, 3, 9, 27, . . .JawabPerbandingan suku sesudah dengan suku sebelumnya menghasilkan suatu rasio yang sama yaitu 3. Dengan demikian rasio barisan adalah 3.Tentukan rasio barisan berikut:Ca. 3, 6, 12, 24, . . .b. -4, 8, -16, 32, . ..KomunikasiPerhatikan barisan 1, 2, 6, 24, . . . Apakah barisan itu barisan aritmetika, geometri atau bukan keduanya? Jelaskan.Menentukan Suku ke-n Barisan Bilangan Perhatikan pola bilangan dalam barisan 2, 4, 6, 8, . . .. Dapatkah kamu menebak suku ke 100? Bagaimana kamu menentukan suku ke 100 tersebut? Untuk menjawab pertanyaan tersebut marilah kita lakukan kegiatan berikut. Lengkapilah tabel sampai 10 suku pertama, untuk membantu menentukan pola yang terjadiBarisan GeometriContoh 2BCek PemahamanKomunikasi
BAB 6 Barisan dan Deret168Ya, sudah kelihatankah pola bilangan di atas? Suku ke 4, bilangannya adalah 2 x 4 = 8, suku ke 10 berarti 2 x 10 = 20, dengan demikian suku ke 100 adalah 2 x 100 = 200. Akan tetapi perhatikan bahwa barisan yang disajikan di atas juga barisan aritmatika. Berapa beda barisan tersebut? Ya, bedanya adalah 2. Lantas apa hubungannya dengan pola yang telah kita temukan di atas?Perhatikan tabel berikut untuk memperoleh kesimpulan kitaAdakah kamu menemukan hubungan suku pertama barisan, beda, dengan suku ke n barisan?Marilah kita rumuskan suku ke n dari barisan aritmatika sebagai berikutMisalkan barisan aritmetika dengan suku pertama a dan beda b. Suku ke-n (Un) bari-san tersebut adalah Un = a+b(n-1)Suku ke -n barisan arit-matika
Matematika SMP Kelas IX169Tentukan rumus suku ke-100 dari barisan 3, 7, 11, 15, . . .JawabSuku pertama barisan tersebut adalah 3, beda tiap suku pada barisan adalah 4. Dengan demikian suku ke – 100 adalahTentukan rumus suku ke-20 dan suku ke n dari barisan 8, 3, -2, -7, . . .Barisan GeometriKembali pada contoh barisan bilangan 1, 3, 9, 27, . . .. Barisan tersebut memiliki rasio 3, suku pertamanya adalah 1. Bagaimanakah kita menentukan suku ke 100, suku ke 100 dari barisan tersebut? Barisan ini adalah barisan geometri, tentu berbeda dengan barisan aritmatika yang telah dibahas di atas.Untuk menentukan suku-suku yang diinginkan tersebut, gunakan tabel berikut untuk menemukan pola barisannya.Contoh 3Barisan GeometriSuku ke -Pola Bilangan dengan rasio 311 = 1x 3 1-123 = 1x 3 2-133 = 1x 3 2-143 = 1x 3 2-15. . . = 3 . . -1. . .. . .n. . . = 3 . . -1Cek Pemahaman
BAB 6 Barisan dan Deret170Adakah kamu menemukan hubungan suku pertama barisan, rasio, dengan suku ke n barisan?Marilah kita rumuskan suku ke n dari barisan aritmatika sebagai berikutTentukan suku ke 25 dari barisan 3, 6, 12, 24, . . .JawabBarisan tersebut adalah barisan geometri, suku pertama 3, rasio barisan adalah 25 12524 32 50331648U ar−==×=24 12 6212 6 3===. Dengan demikian suku ke 25 barisan adalahTentukan suku ke 15 dari -4, 8, -16, 32, . ..Contoh 4Cek PemahamanSuku ke-n barisan geometriMisalkan barisan geometri dengan suku per-tama a danrasio r. Suku ke-n () barisan tersebut adalah
Matematika SMP Kelas IX171Setiap minggu Dira selalu memberikan hadiah berupa kartu bergambar kepada adiknya, yaitu Reni. Minggu pertama Dira memberi Reni 3 kartu bergambar, minggu kedua Dira memberi 6 kartu bergambar kepada Reni. Minggu ketiga Dira memberi 9 kartu bergambar pada Reni.a. Berapakah banyaknya kartu bergambar yang harus diberikan Dira kepada adiknya pada minggu ke-4?b. Berapakah banyaknya kartu bergambar yang harus diberikan Dira kepada adiknya pada minggu ke-5?c. Berapakah banyaknya kartu bergambar yang harus diberikan Dira kepada adiknya pada minggu ke - n?d. Berapakah banyaknya seluruh kartu yang telah diterima Reni selama 3 minggu?e. Bagaimanakah caramu menentukan hasil pada (d)? Jelaskan!Apa yang akan kamu pelajari? Menentukan jumlah nsuku pertama pada deret Aritmetika Menentukan jumlah nsuku pertama pada deret Geometri Menggunakan sifat-sifat deret aritmetika dan deret geometri.Kata Kunci: Beda Ratio Jumlah n suku Deret6.3
BAB 6 Barisan dan Deret172a. Berapakah banyaknya seluruh kartu yang telah diterima Reni selama 4 minggu?b. Bagaimanakah caramu menentukan hasi pada (f)? Jelaskan!c. Nyatakan (f) dengan melibatkan (d).d. Berapakah banyaknya seluruh kartu yang telah diterima Reni selama 5 minggu?e. Bagaimanakah caramu menentukan (i)? Sebutkan!f. Nyatakan (j) dengan melibatkan (g).g. Berapakah banyaknya seluruh kartu yang telah diterima Reni selama n minggu?h. Bagaimanakah caramu menentukan (l)? Sebutkan!Barisan aritmatika Deret aritmatikaa. 3, 8, 13, 18, 23, . . . 3 + 8 + 13 + 18 + 23 + ....b. 214104121−−,,,,, . . . ...+ ... + ... + ... + ...c. a1, a2, a3, a4, a5, . . . ...+ ... + ... + ... + ...Masih ingat barisan aritmetika naik dan turun? Coba perhatikan barisan aritmetika pada contoh a dan b termasuk barisan aritmatika naik atau turun?Bila suku-suku pada barisan aritmetika naik dijumlahkan maka akan terbentuk deret aritmatika naik, begitu pula bila suku-suku pada barisan aritmetika turun dijumlahkan maka akan terbentuk deret aritmatika turun.Bagaimanakah nilai dari deret aritmatika naik? Jelaskan!Bagaimanakah nilai dari deret aritmatika turun? Jelaskan! Deret arimetika dinyatakandengan menjumlahkan suku-suku pada barisan aritamatika.Untuk menyatakan jumlah n suku yang pertama pada barisan aritmatika digunakan simbol Sn.Komunikasi
Matematika SMP Kelas IX173Berikut ini salah satu cara untuk mencari hubungan antara Sndan Un pada deret aritmatika.U1 =a1 =3, U2 = a1 + 3 = 6, U3 = a1 + 6 = 9 S3 = 3 + 6 + 9S3 = 9 + 6 + 3 +2S3 = 12 + 12 + 12 = 3+9 + 3+9 + 3+9= (a1+U3)+( a1+U3)+ (a1+U3)2S3 = 3(a1+U3)S3 = 2331)Ua(+U4 = a1 + 9 = 12S4 = 3 + 6 + 9 + 12S4 = 12 + 9 + 6 + 3 +2S4 = 15 + 15 + 15 + 15 = 3+12 + 3+12 + 3+12 + 3+12= (a1+U4) +(a1+U4)+(a1+U4)+ (a1+U4)2S4 = 4(a1+U4)S4 = 2441)Ua(+Sn = a1 + (a1+ b)+(a1+ 2b) + ...+(Un– 2b)+(Un– b)+Un+Sn = Un + (Un– b) + (Un– 2b)+... +(a1+2b)+(a1+ b)+a1 +2 Sn = (a1+ Un) +(a1+ Un) + (a1+ Un) + ... + (a1+ Un) nsuku= n (a1+Un)Sehingga rumus jumlah n suku yang pertama pada deret aritmetika adalah: a : suku pertama, : suku ke n: jumlah n suku pertama, n : banyak sukuJumlah n suku per-tama deret Aritmetika
BAB 6 Barisan dan Deret174GeometriDhani mempunyai mainan bongkar pasang dari bangun-bangun yang berbentuk segilima beraturan dengan panjang sisinya 1 cm. Susunlah segilima-segilima beraturan seperti pada gambar di samping, kemudian lengkapilah tabel berikut. Kita sudah membahas jumlah deret aritmatika, bagaimana menentukan jumlah deret geometri? Ide mencari jumlah deret arimatika kita gunakan untuk mencari jumlah deret geometri, akan tetapi dengan modifikasi.Ingat suku ke – n barisan geometri adalah 1nnU ar−=,bagaimana bila suku ini kita kalikan dengan rasionya?11nnnnrU r ararU−+=×==Dengan demikian 10nnU rU+−=.Cek Pemahaman
Matematika SMP Kelas IX175Sifat ini kita manfaatkan untuk mencari jumlah deret geometri sebagai berikutSn = a + ar + ar2 + ar3 + ...+ arn-2 + arn-1rSn = ar + ar2 + ar3 + ...+ arn-2 + arn-1 + arnSn - r Sn = a + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 − arn Hasil terakhir menunjukkan Sn (1 - r ) = a− arnSehingga diperoleh:Syarat apa yang harus diberikan pada rumus di atas?Diketahui deret berikut.3 + 6 + 12 + 24 + ...a. Tentukan suku ke delapan pada deret tersebut!b. Tentukan jumlah delapan suku yang pertama pada deret tersebut!JawabSuku pertama deret tersebut adalah 3a=, sedangkan rasio barisan adalah 6 12 2423 6 12r====. Dengan demikian suku ke delapan deret tersebut adalahSedangkan jumlah delapan suku pertama deret tersebut adalahContoh 1Penalaran81813 324123211 321.a arSr−−=−−=−−=−=8187 32 3 128 384.U ar−==×=×=Jumlah n suku pertama deret Geometria : suku pertama, r : rasio: jumlah n suku pertama, n : banyak suku
BAB 6 Barisan dan Deret1761. Banyaknya bakteri berlipat ganda setiap 30 menit. Jika banyaknya bakteri adalah 150, hitung banyaknya bakteri yang akan tumbuh setelah 12 jam dan setelah 24 jam.2. Pak Abi membeli mobil baru seharga Rp135.000.000,00. Ia memperkirakan harga jual mobil akan turun 18% dari harga beli untuk tiap tahunnya. Tentukan harga jual mobil Pak Abi, jika ia merencanakan menjual mobil tersebut setelah memakai 5 tahun! RefleksiRenungkan pertanyaan-pertanyaan berikut, untuk mengukur pemahaman kamu.1. Apakah setiap barisan bilangan senantiasa memiliki pola? 2. Pada barisan aritmatika dengan beda negatif, mana yang lebih besar suku pertama atau suku ke – n? 3. Pada barisan geometri dengan rasio lebih besar dari 1, mana yang lebih besar suku pertama atau suku ke – n? 4. Adakah materi yang masih sulit untukmu? Beranikan untuk bertanya pada guru atau temanmuRangkuman1. Barisan bilangan yang berpola secara aritmatika disebut barisan aritmatika.2. Barisan aritmatika bergantung pada suku pertama dan beda antar suku. Suku ke – n barisan aritmatika dinyatakan oleh ( 1)nU a bn=+−, dengan a suku pertama dan b beda.3. Barisan bilangan yang berpola secara geometri disebut barisan geometri.sumber: www.medicasto.comCek Pemahaman
Matematika SMP Kelas IX177Pilihlah jawaban yang paling benar dengan memeri tanda silang (X) pada pilihan yang diberikan.1. Banyak biskuit pada pola di samping menggambarkan barisan 1, 3, 6, ... Berapa banyak biskuit pada pola ke enam adalah .... buah a. 52 b. 36 c. 30 d. 212. Banyak titik pada huruf N pada urutan ke – 8 adalah .. a. 24 b. 22 c. 18 d. 193. Suku keenam dan ketujuh dari barisan Fibonacci 1, 1 ,2, 3, 5, 8,... adalah a. 8 dan 11 b. 8 dan 13c. 9 dan 13 d. 9 dan 114. Suku ke – n dari barisan 3, 5, 7, 9 ... adalaha. n + 2 b. 2n – 1 c. 2n + 1 d. 2n + 35. Jika diketahui 8 + 17 + 26 + ... = 690. Banyaknya bilangan dari deret tersebut adalaha. 10 b. 12 c. 11 d. 13Evaluasi Mandiri4. Barisan geometri bergantung pada suku pertama dan rasio antar suku. Suku ke – n barisan geometri adalah 1nnU ar−=, dengan a suku pertama dan r rasio. 5. Deret adalah jumlahan suku-suku barisan. Bila yang dijumlahkan suku-suku barisan aritmatika, maka disebut deret aritmatika dan bila yang dijumlahkan suku-suku barisan geometri maka disebut deret geometri.
BAB 6 Barisan dan Deret178Jawablah soal berikut dengan benar.6. Rumah-rumah di sebelah kanan Jalan Ahmad Yani diberi nomor genap dari 2 sampai dengan 224. Berapa banyak rumah yang ada di sebelah kanan Jalan Ahmad Yani? 7. Tulislah aturan setiap barisan aritmetika berikut dan carilah tiga suku berikutnya.a. 5, 10, 15, 20, ... b. 3, 7, 11, 15, . . .c. 34, 29, 24, 19, . . . d. 25, 21, 17, 13, . . .e. 63, 54, 45, 36, . . . f. –8, -1, 6, 13, . . .3. Seorang Pegawai menerima gaji pertama sebesar Rp 800.000,00. Setiap bulan gaji tersebut naik sebesar Rp 100.000,00 sampai setahun. Bila gaji yang diterima pegawai itu ditulis dalam bentuk barisan, barisan apakah itu? Tulislah aturan untuk menjelaskan barisan itu.9. Berpikir kritis. Apakah susunan 33, 33, 33, 33, .... merupakan barisan bilangan? Termasuk barisan aritmetika atau geometri? Tulislah aturan untuk menjelaskannya.
179Petunjuk Penyelesaian (Hint) Evaluasi MandiriBab 1 Kesebangunan dan Kekongruenan1. D2. A3. C4. B5. D6. c = 214,d = 85207. ABCD jajargenjang, akibatnya AD ≤≤ BC, AB ≤≤ CD, sehinggaAD=BC dan AB=CD. AC = AC (diagonal berimpit). Jadi ΔABC ≅ΔCDA.8.PR = 56 cm, PT = 59 cm, QS = 10 cm, PS = 6 cm9.Diketahui Δ ABC dan ΔPQR segitiga siku-siku, dengan BC = QR,∠C = ∠R. (Coba kamu gambar). Karena besar ∠B = ∠Q = 90°,maka berdasar sifat sudut-sisi-sudut (sd-s-sd), maka Δ ABC danΔPQR kongruen. Akibatnya AC = PR.10. 6 meter.Bab 2 Bangun Ruang Sisi Lengkung1. C2. C3. D4. C5. A6. 18,84 m37.194,98 cm28.a. 1.004,8 cm3 b. 320 jam9. 1:410. 4.414,67 cm3Bab 3 Statistika1. A2. C3. D4. B5. D
1806. a. Diagram lingkaran karena dapat membandingkan satu bagiandengan keseluruhan. Diagram batang juga tepat, jika inginmenunjukkan volume pemakaian air yang digunakan dalam suaturumah tangga.b.MencuciMandiMencuci piringBerkebunToilet7.a.8 bulanb. Rata-rata umur kelinci lebih muda (sedikit) daripada hamster.8.Modus, karena menunjukkan banyak anak yang sering tidak hadirselama 2 minggu, yaitu modusnya 2 siswa. Rata-rata tidak tepat karenahasil perhitungan menunjukkan pecahan desimal. Sedang mediantidak menunjukkan pengumpulan data yang benar.9.MerahBiruHijauLainnya10. Lihat sebelumnya.Bab 4 Peluang1. A2. D3. B4. C5. B6.a.Banyak pilihan makan 4, banyak pilihan minum 3. Sehinggabanyak pilihan menu Novan (1 makan 1 Minum) adalah 4 x3 = 12 pilihan.b. Lihat contoh sebelumnya.7.Ruang sample {(A,1), (A,2), (A,3),(A,4), (A,5), (A,6), (G,1), (G,2),(G,3),(G,4), (G,5), (G,6)}
1818.Banyak percobaan 8023, kejadian kacang polong berwarna hijausejumlah 2001. Sehingga peluang kejadian polong berwarna hijauadalah P(polong berwarna hijau) = 2001/8023.9.Banyak percobaan 200, kejadian muncul dua angka sejumlah 20.Sehingga peluang kejadian muncul dua angka adalah P(munculdua angka) = 20 /200.10. Banyak pin keseluruhan 10.a.Peluang terjadi pengambilan pin merah adalah P (merah) =4/10b. Agar kedua pin memiliki peluang sama untuk terambil, makapin merah yang harus ditambahkan adalah 2 pin, sehinggajumlahnya sama-sama 6.c.Dengan jumlah yang sudah ditambahkan, jumlah pinseluruhnya adalah 12. Dengan demikian P(kuning) = 6/12Bab 5 Bilangan berpangkat1. C2. A3. D4. B5. C6.Pada pernyataan 33xxpxx, mempunyai arti2133233xxxxpxpxpxxxx bentuk terakhir dapat dituliskan sebagai 22331xxpxxxp u .Dengan demikian 23px.7.2 x 243 = 4868.a. 4122a atau 1216ab. 925 212ab c. 12cd.22abc atau 22bca9.Tidak, contoh 1, 2, 3, 2ab mn sehingga diperoleh2312 8nmabu u sementara 23() (12) 32nmab u
18210. Mengapa np tidak terdefinisi jika n genap dan p < 0?Ambil contoh 2, 2pn sehingga diperoleh pernyataan 2. Apakahartinya? Artinya andaikan ada b sedemikian hingga2bb uAdakah bilangan real b yang memenuhi persamaan di atas? Jawabnyatidak ada. Andaikan ada b > 0 yang memenuhi persamaan tersebut,maka kita peroleh hasil kali dua bilangan positif adalah positif,sedangkan ruas kiri negatif. Dengan demikian tidak mungkin ada b >0 yang memenuhi persamaan tersebut. Andaikan ada b < 0 yangmemenuhi persamaan tersebut, maka hasil kali dua bilangan negatifadalah positif, sedang ruas kiri negatif. Dengan demikian tidak ada b< 0 yang memenuhi. Sedangkan untuk kasus b = 0, jelas tidak mungkin.Dengan demikian, memang tidak ada breal yang memenuhi persamaantersebut.Bab 6 Pola Bilangan1. D2. C3. B4. C5. B6. Suku pertama 2, suku terakhir 224, beda 2. Dengan demikian untukmenghitung banyak rumah dapat dicari dari bentuk suku terakhir atau 22n.Jadi banyak rumah di kanan jalan adalah 112.7. a. 5, 10, 15, 20,25,30,35,...,5nb. 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, ..., 3 + 4 (n – 1)c. 34, 29, 24, 19, 14, 9, 4,...,34 – 5(n – 1)d. 25, 21, 17, 13, 9, 5, 1,..., 25 – 4(n – 1)e. 63, 54, 45, 36, 27, 18, 9,..., 63 – 9(n -1)f.–8, -1, 6, 13 , 20, 27, 34,..., -8 + 7(n – 1)8. Gaji pertama Rp. 800.000,- kenaikan tiap bulan Rp. 100.000,-. Lamakenaikan 1 tahun (12 bulan). Dalam bentuk barisan dapat disusungaji pegawai tersebut adalah sebagai berikut.g
183Gaji pegawai tersebut membentuk barisan aritmatika dengan beda100.000. Dengan demikian aturan barisan tersebut tiap sukunya adalah9.Bila dipandang sebagai barisan geometri, maka barisan 33, 33, 33,33, .... memiliki rasio 1, dengan demikian suku-suku berikutnyamemiliki aturanyaitu berupa suku konstan.Apabila dipandang sebagai barisan aritmatika, maka barisan tersebutmemiliki beda 0, dengan demikian suku-suku berikutnya diatursebagai berikut (1) 33(1)033nUanb n juga berupa barisankonstan.10. Diserahkan pembacabb
184Daftar PustakaDepartemen Pendidikan Nasional, (2006), Standar Isi, Jakarta:DepartemenPendidikan Nasional.Direktorat PSMP (2006), Matematika Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama,Kelas IX, Jakarta: DepdiknasGail F. Burrill dkk, (1995), Geometry Applications and Counections, NewYork: Glencoe/McGrawHill.Glenda Lappan dkk, (2001) , Comparing and Scaling, New Jersey: PrenticeHall.Glenda Lappan dkk, (2001), Data About Us (Data and Statistics), New Jersey:Prentice Hall.Glenda Lappan dkk, (2001), Samples and Populations (Data and Statistics),New Jersey: Prentice Hall.Glenda Lappan dkk, (2001), Stretching and Shrinking (Similirity), New Jersey:Prentice Hall.Suzanne H. Chapin dkk, (1999), Middle Grades Math Tools For SuccessCourse 1, New Jersey: Prentice Hall.Suzanne H. Chapin dkk, (1999), Middle Grades Math Tools For SuccessCourse 2, New Jersey: Prentice Hall.Suzanne H. Chapin dkk, (1999), Middle Grades Math Tools For SuccessCourse 3, New Jersey: Prentice Hall.William D. Lechensky dkk, (1997), Pre-Algebra An Integrated Transition toAlgebra and Geometry, New York: Glencoe/McGrawHill.
185GlosariumBBarisan adalah urutan bilangan dengan pola tertentuBarisan aritmatika adalah barisan bilangan dengan pola aritmatika (operasipenjumlahan dan pengurangan)Barisan geometri adalah barisan bilangan dengan pola geometri (operasiperkalian)Beda adalah selisih dua suku berurutan dalam barisan aritmatikaDDeret adalah jumlahan dari suku-suku barisanDeret aritmatika adalah jumlahan suku-suku barisan aritmatikaDeret geometri adalah jumlahan suku-suku barisan geometriDiagram batang digunakan untuk membandingkan banyak sesuatu tiapkategori.Diagram garis digunakan untuk menunjukkan suatu data yang berkembangdari waktu ke waktu secara teratur.Diagram lingkaran digunakan untuk membandingkan sesuatu data terhadapkeseluruhan data.Diagram pohon adalah diagram yang digunakan untuk menentukan anggotaruang sampel.Diagram Cartesius adalah diagram yang digunakan untuk menentukananggota ruang sampel dalam bidang Cartesius.FFaktorisasi prima adalah uraian bilangan bulat terhadap faktor-faktor prima.Faktor skala adalah perbandingan panjang dua sisi yang bersesuaian.Frekuensi nisbi adalah perbandingan antara cacah anggota kejadian dengancacah anggota ruang sampel untuk percobaan dengan frekuensi kecil.KKejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampelKejadian acak adalah kejadian yang tidak dapat diperkirakan sebelumnyahasil yang terjadi.Kemustahilan adalah suatu kejadian dengan peluang mutlak 0Kepastian adalah suatu kejadian dengan peluang mutlak 1.Kerucut adalah bangun ruang yang dibatasi oleh dua sisi, yaitu sisi alasdan selimut kerucut. Sisi alas kerucut berbentuk lingkaran dan sisi tegakberupa bidang lengkung yang disebut selimut kerucut.
186RRata-rata (mean) =dataBanyaknyadatanilaiJumlahRasio adalah perbandingan dua suku berurutan dalam barisan geometri.Ruang sampel adalah himpunan semua hasil percobaan statistik yangmungkin terjadiKomposit adalah bilangan bulat yang bukan bilangan primaKongruensi dari dua segitiga yang kongruen mempunyai sifat yaitu sisi-sisiyang seletak sama panjangDua segitiga yang kongruen mempunyai sifat yaitu sudut-sudut yang seletaksama besar.MMedian adalah nilai yang terletak di tengah data, jika data diurutkan dariyang paling kecil hingga paling besar atau sebaliknya.Modus adalah data yang paling sering muncul atau data dengan frekuensipaling besar.PPangkat adalah derajad suatu bilangan, dalam kasus na dibaca a pangkat n. adisebut bilangan pokok, n disebut pangkat (eksponen).Pangkat positif adalah derajad suatu bilangan dengan nilai bilangan positif.Pangkat negatif adalah derajad suatu bilangan dengan nilai bilangan negatif.Pangkat nol adalah derajad suatu bilangan dengan nilai bilangan 0.Pangkat pecahan adalah derajad suatu bilangan dengan nilai pecahan(rasional).Populasi adalah sekelompok objek (bilangan, benda, orang, binatang danlain-lain) yang dibicarakan disebut populasi.Peluang adalah peluang suatu kejadian adalah rasio cacah anggota kejadiandengan cacah anggota ruang sampel.Prima adalah bilangan bulat yang hanya memiliki pembagi 1 atau dirinyasendiri.Pola adalah keteraturanPola bilangan adalah keteraturan bilangan memenuhi aturan tertentu.
187SSampel adalah sebagian dari populasi.Sebangun adalah dua bangun datar dikatakan sebangun jika sudut-sudutyang bersesuaian sama dan sisi-sisi yang bersesuaian sebandingJika pada dua segitiga sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, maka keduasegitiga itu sebangunTTabung adalah bangun ruang yang dibatasi oleh dua bidang yangberbentuk lingkaran sebagai sisi alas dan sisiatas dan sebuah bidanglengkung yang merupakan sisi tegak yang disebut selimuttabung.Titik sampel adalah anggota ruang sampel
188IndeksAAcak, 61Akar,101, 106, 107, 108, 116, 117,118, 119Aritmatika, 136, 138, 139, 140,143, 144, 146BBola, 51DDiagram batang, 69Diagram garis, 70Diagram lingkaran, 70EEksponen, 101, 102, 109, 110, 111,113, 116, 117, 118FFaktor skala, 5Frekuensi nisbi, 89, 91, 94, 97GGeometri, 137, 139, 140, 144, 145,146, 148KKejadian, 85, 86, 90, 91, 92, 93, 95,96, 97, 99Kerucut, 44Kongruen, 18, 22, 23LLuas (sisi) bola, 52Luas (sisi) kerucut, 45Luas (sisi) tabung, 38MMedian, 76,77, 78Modus, 76, 77, 78PPeluang, 84, 91, 93, 94, 95, 97Percobaan statistik, 84, 95,97Pola bilangan, 142, 143Populasi, 60, 61Pangkat, 101, 103, 105, 107, 109,111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 121RRata-rata (mean), 76, 77, 78Ruang sampel, 84, 85, 86, 89, 92,93, 97SSampel, 60, 61Sebangun, 2,4, 11, 12Suku, 125, 126, 131, 133, 136, 137,138, 139, 140, 142, 143, 144, 145,146, 147, 148TTabel frekuensi, 66Tabung, 37Titik sampel, 84, 84, 97VVolume bola, 54Volume kerucut, 46Volume tabung, 40
189